Hallo und willkommen im Forum!
Pauschale Aussagen zu Flugzeitenverschiebungen kann man nicht geben, zumal mir nicht ganz klar ist, ob mit deiner Frage tatsächlich Flugzeitenverschiebungen meinst, die von der Airline im Vorfeld bewusst vorgenommen werden oder ob du Verspätungen und unvorhergesehene Ausfälle meinst.
Flugzeitenverschiebungen gibt es relativ häufig - je früher man bucht, desto wahrscheinlicher ist ein Flug auch von solchen Verschiebungen betroffen. Über diese Verschiebungen wird man normalerweise auch informiert, entweder von der Fluggesellschaft, wenn man direkt dort gebucht hat oder vom Reisebüro, über das man gebucht hat. Oft sind das Verschiebungen von wenigen Minuten, die keine Auswirkungen auf Anschlussflüge usw. haben. Falls es doch gravierendere Verschiebungen sind oder im Extremfall im Vorfeld der Reise sogar ein Flug gestrichen wird, kann man versuchen, sich umbuchen zu lassen, falls es (bessere) Alternativflüge gibt.
Beispiel: Wir hatten vor ein paar Jahren Flüge mit Delta Air von Las Vegas nach Atlanta und von Atlanta nach Frankfurt gebucht. Einige Wochen vor der Reise wurden wir informiert, dass der Flug von Las Vegas nach Atlanta mehrere Stunden vorvorlegt wurde und wir mitten in der Nacht hätte in Las Vegas aufbrechen müssen, dafür dann aber mehrere Stunden in Atlanta auf den Weiterflug gewartet hätten. Wir haben uns dann an das Internetreisebüro gewandt, über das wir gebucht hatten und haben nach Alternativflügen gefragt. Delta ließ uns dann kostenlos auf einen späteren Flug umbuchen.
Bei unvorhergesehenen Verspätungen und Flugausfällen, etwa wegen Wetterlage, Streik, defekter Maschine o.ä., kümmert sich normalerweise die Fluggesellschaft darum, dass man z.B. bei einem ausgefallenen Flug auf den nächstverfügbaren umgebucht wird oder dass man bei Verpassen des Anschlussflugs wegen Verspätung des vorhergehenden Flugs auf einen anderen Anschlussflug umgebucht wird. Ist deswegen eine Übernachtung erforderlich, werden die Kosten dafür normalerweise auch von der Fluggesellschaft übernommen. Oft werden dann Voucher für bestimmte Flughafenhotels ausgegeben. Bei längeren Verspätungen, ich glaube über 2 Stunden, hat man auch einen Anspruch auf Verpflegung am Flughafen, wobei dafür auch meist ein Voucher ausgegeben wird.
Ansprechpartner ist bei solchen Verspätungen und Ausfällen immer die Fluggesellschaft, die derartige Probleme meist über die Check-In-Schalter am Flughafen abwickelt. Falls ein Umbuchen auf andere Flüge erforderlich ist, dann wird die Fluggesellschaft zumeist auf eigene Flüge oder auf Flüge der Flugallianz umbuchen, der sie angehört. Auf keinen Fall sollte man selbst gleich losstürmen und auf eigene Faust irgendwelche Alternativflüge buchen.
Ob man darüber hinaus noch weitere, pauschalisierte Zahlungsansprüche hat, richtet sich z.B. nach der Länge der Verspätung. Das sind dann aber Ansprüche, die man erst nach Beendigung der Reise gegenüber der Fluggesellschaft geltend macht.