In den Zug setzen kann man sich selbstverständlich ohne Führerschein.
Da das Netz von Amtrak aber, vorsichtig ausgedrückt, ziemlich lückenhaft ist, bist du bei erreichbaren Zielen ziemlich eingeschränkt. Im Prinzip sind es die großen Städte und natürlich die kleinen Käffer, die zufällig an einer Bahnstrecke liegen. Praktisch alle Nationalparks (Glacier ist da eine Ausnahme, der hat einen Bahnhof mittendrin) sind nicht oder nur mit extremen Schwierigkeiten ohne Auto zu erreichen.
Der dem Yellowstone nächstgelegene Bahnhof dürfte Salt Lake City sein, 370 Meilen / 590 km entfernt.
Solche Orte ohne Auto und selberfahren aufzusuchen, dürfte sehr schwierig werden.
Manfred