Nach einigen weiteren Telefonaten habe ich jetzt wohl eine finale "Lösung", die ich für alle Interessierten (danke euch für die Unterstützung hier im Forum) zum Besten gebe:
(1) Die LH-Hotline hat klare Anweisungen: mind. 6 Monate Gültigkeit. Ohne Wenn und Aber. Die berufen sich auf deren internen Info-Pool, der zwar nachweislich falsch ist, aber offenbar bindend. Die haben auch kein Problem damit dem Kunden zu sagen, dass er sich gefälligst informieren soll und offizielle Regelungen, die man innerhalb von fünf Minuten googeln kann, uninteressant seien. Ohne 6 Monate keine Beförderung. Basta. Gleichzeitig weisen sie aber darauf hin, dass die Lufthansa natürlich keine neuen Regeln erfindet, sondern sich an offizielle Vorgaben hält. Ist natürlich inkonsistent und insgesamt Unsinn.
(2) Wenn man sich bockig stellt und eine übergeordnete Stelle verlangt, erfährt man Folgendes: 6 Monateregelung stimmt doch nicht. Was das Auswärtige Amt und die US Botschaft sagen ist (völlig überraschend) doch richtig! Wer hätte es gedacht!
(3) Dieses übergeordnete Personal hat Zugriff auf eine andere Info-Quelle: Timatic. Diese spezielle Datenbank zu Einreisebestimmungen gibt es sogar in einer speziellen Ausgabe für die Star Alliance und ist wohl das, woran sich das Bodenpersonal beim Check-In orientiert.
(4) Timatic gibt es sogar online:
http://www.staralliance.com/en/services/visa-and-health/(5) Bei Timatic steht das, was ich schon vorher wusste: 6 Monate sind Quatsch.
(6) In einem englischsprachigen Forum (flyer-talk) habe ich gelesen, dass empfohlen wird immer so einen Timatic-Ausdruck dabei zu haben, wenn es um etwaige Besonderheiten geht. Werde ich machen.
Vielleicht ist die obige Zusammenfassung ganz hilfreich für Andere, die mal in der gleichen Situation sind wie ich.
(Falls sich jemand fragt, wieso ich nicht einfach einen neuen Pass beantragt habe: zweimal ESTA mit zwei verschiedenen Pässen und ein und demselben Namen innerhalb kurzer Zeit - na, ich weiß nicht...)