Die Airline kann Dir keinen Boardingpass ausstellen ohne das "ESTA OK."
Aber einen Nachweis, dass Du ESTA hast, dürfen die nicht verlangen, auch wenn Sie es ab und an machen. Die kann das eh sehen, ob Du die Genehmigng hast oder nicht. Und zwar, wenn Sie Dich eincheckt.
Ach, und ja, man kann ESTA auch noch am Airport beantragen. Hab ich auch schon gehabt. Dauert nicht länger als zu Hause.