Tja, da habt Ihr evtl.(!) ein (Luxus?-)Problem...
Die "Aktivierungsvisa" werden m.W. nur innerhalb des jeweiligen "fiscal year" ausgestellt, also aktuell zwischen 1.10.2011 und 30.9.2012. Interviewtermine werden dementsprechend, glaube ich zumindest, auch erst ab Oktober vergeben (selbst wenn's frueher der Fall waere, wuerde es Euch auch nicht helfen).
Faustregel ist, die GC-Antragsunterlagen so schnell wie moeglich auszufuellen & einzusenden, da ca. 2x mehr "Gewinner" benachrichtigt werden, als tatsaechlich Einwanderungsvisa zur Verfuegung stehen. Sobald der Antrag bei USCIS eingegangen ist, seid Ihr aber im System erfasst - sprich, Ihr qualifiziert Euch eigentlich nicht mehr wirklich fuer die visumsfreie Einreise, da Ihr nachweislich Einwanderungsabsichten habt. Natuerlich koennt Ihr klarstellen, dass es sich hier nur um einen Urlaubsaufenthalt handelt etc., das "Problem" aus Sicht von USCIS ist jedoch, dass hier "Einwanderer in spe" stehen, die evtl. nicht dafuer qualifiziert sind und von daher lieber gleich (illegal) dableiben koennten. Sprich, ist eine Grauzone - bei manchen klappt's, bei anderen nicht.
Wenn Ihr auf Euren Urlaub wirklich nicht verzichten koennt/wollt, waere das einfachste vermutlich, mit dem Einschicken der Unterlagen bis nach der erfolgreichen Einreise zu warten... inwieweit dadurch das Risiko, die GC-Chance zu verpassen, erhoeht wird, weiss ich nicht; wuerde aber bei einer 4-stelligen Nummer davon ausgehen, dass es relativ gering sein duerfte (Mitte Juni ist ja auch nicht mehr sooooo ewig hin). Muesst Ihr letztendlich aber selber abwaegen. Erkundigt Euch dafuer am besten mal in etwas spezialisierteren Auswandererforen (talkaboutusa.com, amerika-forum.de).
(PS - da Ihr eine Case# habt, gehe ich davon aus, dass Ihr auf der offiziellen Seite nachgesehen habt; die mir bekannten Gewinnbenachrichtigungs-Scams beinhalten keine solche, aber man weiss ja nie
)